[翻译] 数学天花板：你的认知上限在哪里？
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Feb 8, 2024
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数学
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每个人都有上限吗？我们有学不会的知识吗？
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总结：
所谓基础不牢，地动山摇，在国内教育环境下，应更为重视基础知识的学习，但需要注意去理解知识不是去记住知识。
一天下午，系主任在教职工休息室逮住了我，随口提了一个让人深思的问题：
（他后来承认，他只是好奇能否像操控木偶一样让我为此写一篇博客。答案显而易见，我确实像他控制的木偶一样随他起舞。）（写了这篇博客）
那么，我们真的会在某个阶段止步不前吗？
传统的观念对此深信不疑：“当然有。”人的智商有高低之分，有人擅长数学而有人不擅长，有些孩子就是“懂”，而有些则不懂。
试着在茶余饭后与大人们聊聊他们的数学生涯：他们会不由自主的将其形容为一场 NCAA（国家大学体育协会）锦标赛。每个人都会被淘汰，问题只在于你能在比赛中坚持多久。“我应付不了代数”意味着你在第一轮就被淘汰。“我止步于多变量微积分”意味着“嘿，虽然我也没摘得桂冠，但我已经够自豪了，毕竟我都杀入半决赛了！”
然而，在教师这一行业中，有一种新的风气正在悄然形成并被普遍认可——他们对这个问题的答案却是“绝对没有上限”。
你应该能感受到教育环境在逐渐演变出的积极与乐观。（你没看错，人人都将获得一本范畴论课本）。然而，我想你和我朋友凯伦一样，对这种无条件的乐观怀抱着质疑的态度
Karen 是位极其勤奋努力的女孩，课堂上积极提问，而且对自己要求颇高。可惜的是，尽管她在尽其所能的付出，她仍然觉得自己难以企及某些高阶的数学概念。
学生群体的 “每个人在某处都会碰壁”和教师阵营的 “只要肯努力，人人都能精通任何学科”这两种截然不同的观念似乎成了难以磨合的矛盾体。有时，教师为了鼓励学生可能会说 “一定能做到！”。学生听到这句话时，反而可能会感觉自己的努力遭到了否定，或者误以为教师是个虚伪至极的理想主义者。那该怎么才能缓解这两个看似难以共存的认知悖论呢？
我相信有这么一条法则：破沙发法则（Law of the Broken Futon）。
futon [ˈfu:tɒn]
蒲团(100%)
n.蒲团；日式床垫
在大学时，我和室友们从一些朋友那里买了一张二手沙发（只用了几个月）。他们住在一楼；我们住在四楼。好心的他们还帮我们抬了上来。
当他们气喘吁吁地爬到三楼平台时，突然传来“咔嚓”一声。一个小金属条掉了下来。大家一起检查了一下，但都没弄清楚那零件是哪儿掉下来的。由于沙发看起来没问题，我们就简单地不了了之了。
在我们的房间待了一周后，沙发开始变得松垮了。我们疑惑：“它一直是这个样子的吗？”。
一个月后，它变得松弛不堪。坐在末端，沙发的弧度会把你（和其他所有人）都倾倒到一个中央的凹陷里。
到了学期末，沙发已经完全变形，瘫在宿舍房间满是灰尘地板上，当初那意气风发的沙发，如今只是一具可怜的破烂框架。
如今，宜家家具就像客厅里的果蝇：出了名的短命。我们的沙发寿命无疑有个上限，三年或者四年。但这个仅仅存活了不到八个月。
事后仔细回想，当时掉下来的金属条显然是个非常重要的承重部件。在它缺失的那一刻，沙发表面上还能撑着，可每天都有新的重量肆无忌惮地压在它那些根本没办法承受更大压力的部位。随着时间积累，沙发的框架结构一点点儿发生了扭曲，它也终于承受不住越来越大的压力。在沙发的内部，倒计时正在默默进行，终于有一天，当再有那么一丁点儿额外重量时，整张沙发就彻底散架了。
这种不幸，同样会发生在数学课堂中。
比如说，你的初中成绩很不错。线性方程的图形对你来说手到擒来，可以极其熟练地计算斜率、确认坐标点、画出平行或者垂直线。
可如果你偏偏就缺失了一个简单至极的基本概念——那些图形不过是能够满足相应方程的一组组 X, Y 坐标——那你就是一张残破的沙发。因为这个重要零件（概念）的缺失，你在未来会付出惨痛的代价。二次函数会变成你的噩梦，正弦曲线将会彻底颠覆你的三观。你或许会在微积分之后一蹶不振，并自我安慰说：“嘿，至少我也比某些人撑得更久。”
你可能会疑惑：“我现在不是好好的吗？既然如此，那我能不能之后，也就是等到真正要用那个缺失的概念时再临时把它补上呢？”答案有时候是可以。但这样会使得原本简单的学习变得异常费劲。你已经花了太多年时间在那儿绕圈子了，为了绕开那些你不理解的关键性概念，你总结出了一套套只可用于局部情况的招数和小撇步。这些小伎俩支撑了你那么久，却也悄无声息地扭曲了你的思维框架，现在你的知识短板正在显露无疑。要想更进一步，你必须先要放弃自己辛苦琢磨出的那些解题捷径——这感觉就像是强行掰正一根变形的金属杆——然后把它们还原回本来应该有的面貌。而一旦你对原有的错误解题思路产生了依赖，就很难彻底摒弃掉这些让你走到今天的策略。
等到缺失的东西真正给你添麻烦时再临时抱佛脚可就难上加难了。
我坚信，正是这种不及时解决问题的恶习，导致很多学生被死死地锁住了前进的道路。这种所谓的“瓶颈”并不是他们所与生俱来的某些神经构造或基因限制了他们的发挥。相反的，这是我们人为制造出来的障碍。是我们那些有意无意的言行在潜移默化中埋下了祸根，比如说 “搞不清原理没关系，照着这些步骤，对着后边的答案检查看看你的结果正不正确”，或者 “只有极具天赋的人才能搞定它，其他人只要保证按部就班完成解题就行”， 还有“他们现在可能还不是太懂，不过这些东西之后都能自己琢磨过来”。
这么做，或许短期内，你能把他们弄上战场，但这就好比给你的士兵配齐了弹药箱，而弹药箱里塞得却是空包弹。当然，在一开始他们也会有模有样的开上几枪，可等到他们自己发现不对劲时，往往一切都太迟了。
一位靠死记硬背，却丝毫没有真正吃透解题思路的学生，正像是我们文章里提到那把塌陷的沙发一样，注定会在某个转折点彻底崩溃。
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